2011年注册会计师考试财务成本管理预习讲义(51)
【知识点7】二叉树期权定价模型
一、单期二叉树模型
关于单期二叉树模型，其计算结果与前面介绍的复制组合原理和风险中性原理是一样的。
以风险中性原理为例：
式中：
Co=期权价格;Cu=股价上升时期权到期日价值
Cd=股价下行时期权到期日价值;r=无风险利率
u=股价上行乘数;d=股价下行乘数
【提示】二叉树模型建立在复制原理和风险中性原理基础之上的，比较而言，风险中性原理比较简单，应用风险中性原理时，可以直接应用这里的上行概率计算公式计算上行概率，然后计算期权价值。
二、两期二叉树模型
如果把单期二叉树模型的到期时间分割成两部分，就形成了两期二叉树模型。由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。
计算出Cu、Cd后，再根据单期定价模型计算出Co。
【例】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元。到期时间是6个月。无风险利率为每年4%。
把6个月的时间分为2期，每期3个月。每期股价有两种可能：上升22.56%，或下降18.4%。
【提示】本例前面为6个月一期时，无风险利率2%，本题三个月一期时，无风险利率1%。并没有考虑名义利率和实际利率的问题。
『正确答案』第一步，计算Cu、Cd的价值
【采用复制组合定价】
套期保值比率=期权价值变化/股价变化=(23.02-0)/(75.10-50)=0.9171
购买股票支出=套期保值比率×股票现价=0.9171×61.28=56.20
借款数额=(到期日下行股价×套期保值比率)/(1+利率)
=50×0.9171/1.01=45.40
Cu=56.2-45.4=10.80元
由于Cud、Cdd均为0，因此，Cd=0
【采用风险中性定价】
1%=上行概率×22.56%+(1-上行概率)×(-18.4%)
上行概率=0.47363
期权价值6个月后的期望值=23.02×0.47363+(1-0.47363)×0=10.9030
Cu=10.9030/1.01=10.80(元)
由于Cud、Cdd均为0，因此，Cd=0
【采用两期二叉树模型】
来三、多期二叉树模型
1.原理：从原理上看，与两期模型一样，从后向前逐级推进。
2.上行乘数和下行乘数是如何确定的?
期数增加以后带来的主要问题是股价上升与下降的百分比如何确定问题。期数增加以后，要调整价格变化的升降幅度，以保证年收益率的标准差不变。把年收益率标准差和升降百分比联系起来的公式是：
『正确答案』
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做题程序： |
【例】已知：股票价格So=50元，执行价格52.08元，年无风险利率4%，股价波动率(标准差)0.4068.到期时间6个月，划分期数为6期。
『正确答案』1.确定每期股价变动乘数
u=1.1246
d=0.8892
【注意】计算中注意t必须为年数，这里由于每期为1个月，所以t=1/12年。
2.建立股票价格二叉树
【填表规律】以当前股价50为基础，先按照下行乘数计算对角线的数字;对角线数字确定之后，各行该数字右边的其他数字均按照上行乘数计算。
3.按照股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值二叉树。
(1)确定第6期的各种情况下的期权价值
7个数字中有三个大于执行价格，可以据此计算出三个期权价值(49.07=101.15-52.08;27.9=79.98-52.08;11.16=63.24-52.08)，后四个数字小于执行价格，期权价值为0.